MATEMATICAS V UNIDAD 3

miércoles, 25 de mayo de 2011

3.16.1 Determinación de la Trasformada Inversa Mediante el Uso de las Fracciones Parciales.

Ejemplo
Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\} $
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} $
en fraciones parciales
$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4} $
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\} $		$\displaystyle =$$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
$\displaystyle =$$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

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