Israel Flores Cano: mayo 2011

miércoles, 25 de mayo de 2011

3.16.2 Determinación de la Trasformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside

se define como

Función de Heaviside

La función escalón unitario o de Heaviside H: {0, + ∞} àR se define como:

3.16.1 Determinación de la Trasformada Inversa Mediante el Uso de las Fracciones Parciales.

Ejemplo
Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$
en fraciones parciales
$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

3.16 Propiedades de la transformada inversa (linealidad, traslación)

Linealidad de la transformada inversa
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ tales que ${\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ y ${\cal L} \{ g(t) \} = G(s)$ , entonces
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \{ \alpha F(s) + G(s) \}$ = $\displaystyle \alpha {\cal L}^{-1} \{F(s) \} + {\cal L}^{-1} \{G(s) \}$
= $\displaystyle \alpha f(t) + g(t)$

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción:

3.15 Algunas transformadas inversas

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas de laplace

Si f(t) es continua por tramos en orden exponencial para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el máximo de y c indica el máximo.

para s>c.

martes, 17 de mayo de 2011

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean

f

g

dos funciones cuya convolución se expresa con . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

lunes, 16 de mayo de 2011

3.9 transformada de integrales (teorema)

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

$T ( f(t) ) = \int_{t_1}^{t_2} K(u,t)\, f(t)\, dt = F(u)$

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella

t 1

t 2

son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde $+\infty\,$ hasta $-\infty\,$ .
Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada,

K - 1 (u, t)

, que (más o menos) da una transformada inversa:

$f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, T ( f(t) )\, du.$

Un nucleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.

En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la ecuación.
(Teorema de integración) Si $\exists \ensuremath{ \mathcal{L} \left[ f(t) \right] }$ , entonces se cumple

$\displaystyle \ensuremath{ \mathcal{L} \left[ \int_0^t\!\!f(\tau) \ensuremath{\... ...}\tau} \right] }= \frac{\ensuremath{ \mathcal{L} \left[ f(t) \right] }}{s} .$